OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA ANTIGA

 Segue a baixo um pouco da história de três problemas clássico da geometria antiga os quais contribuíram muito para a ampliação da matemática. A pricípios se tratam de problemas insolúveis que apareceram como situações problemas reais.

OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA ANTIGA

A QUADRATURA DO CÍRCULO,

A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO

A DUPLICAÇÃO DO CUBO.

Os três problemas clássicos da antiguidade grega que são insolúveis com a utilização de régua não graduada e compasso.

 Segundo a tradição, estes três problemas famosos deveriam ser resolvidos somente usando-se régua (sem escala) e compasso. Comecemos por lembrar que as construções permitidas são: traçar uma reta, conhecendo dois de seus pontos; traçar um círculo, conhecendo seu centro e um ponto do círculo; determinar as intersecções de retas ou círculos, com outras retas ou círculos já construídos.

A importância destes problemas reside no fato de que eles não podem ser resolvidos, a não ser por aproximações, utilizando-se os recursos permitidos. Mas isso só foi provado mais de 2.200 anos depois. No entanto, a busca incessante em solucioná-los influenciou profundamente a geometria grega.

 

Quadratura do Círculo

 

Este problema é considerado o mais famoso dos três problemas clássicos aqui mencionados. Por volta do século V a.C., o surgimento de uma figura não delimitada por segmentos de retas causou estranheza para os matemáticos em geral. Assim, eles passaram a tentar compreender o que significava esta área circular comparando-a com o quadrado, que era uma figura conhecida. Assim, surge a tentativa de quadrar o círculo.

O primeiro matemático a ocupar-se com este problema foi Anaxágoras de Clazômenas, durante o período em que este preso, por negar a divindade do Sol (que, para ele, era uma pedra incandescente) e da Lua (que era uma terra)

Mas, o que seria quadrar o círculo? Este problema consistia em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo.

 

 Trissecção do Ângulo

 

Durante esta mesma época, séculos V e IV aC, um outro problema circulava em Atenas: “dado um ângulo arbitrário, construir com régua e compasso apenas um ângulo igual à terça parte do ângulo dado”. Não existe nenhuma lenda associada a este problema. No entanto, ao contrário dos outros dois problemas clássicos, a trissecção do ângulo é possível para determinadas amplitudes.

Este problema perturbou os gregos pois, apesar de parecer-lhes simples, tornou-se uma tarefa difícil de ser solucionada, já que a equação usada para resolver este problema é cúbica e, como sabemos, as raízes cúbicas não são construtíveis utilizando-se régua não graduada e compasso.

 
Utilizando o software Cabri Géomètre II, podemos trisseccionar um ângulo de 90o e um ângulo agudo, conforme podemos observar abaixo.

       

Duplicação do Cubo

Conta a lenda que, por volta de 427 a.C., uma terrível peste dizimou aproximadamente ¼ da população de Atenas. Nessa catástrofe, é que surge o terceiro problema da Antiguidade. Conta-se que um grupo de pessoas fora enviada ao oráculo de Apolo, em Délus, para perguntar de que forma eles poderiam combater tal peste. O oráculo, então, respondeu que o seu altar cúbico deveria ser duplicado. Os atenienses, de imediato, dobraram todas as dimensões do altar e, mesmo assim, a peste continuou a atacar. Segundo Platão, a verdadeira intenção do deus era a de envergonhar os gregos por seu total desprezo com a matemática e com a geometria em particular.

Note que, para este segundo cubo, o volume passa a ser 8 vezes maior. Ou seja, ao dobrarmos as dimensões do cubo de lado x, estaremos multiplicando por 8 o seu volume e não por 2,  como pensavam os atenienses. Essa história, diz a lenda, foi a origem do problema da duplicação do cubo ou problema Deliano.

 

Apesar de que estes problemas não tenham sido resolvidos, a descoberta de novos objetos matemáticos e a riqueza interna adquirida pelos matemáticos envolvidos foram de grande importância para o desenvolvimento da geometria futura.  

Esses três problemas são um exemplo vivo de que a beleza de um problema matemático não está na resposta, e sim, nos métodos usados para resolvê-lo. A não existência de uma solução pode ser frustrante, mas os raciocínios que permeiam as tentativas frustradas da solução deles, constituem um material rico e cheio de descobertas interessantes.   

quinta 18 dezembro 2008 22:50



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